域(field)的定义

一个集合满足加法和乘法两种运算法则的以下公理，则可以称为域。且以下规则我们称为域公理(field axioms)。
tips: 减法和除法可以看作是加法和乘法的逆运算。

设存在一个集合A：

加法公理

  1. 对于每一个x∈A，y∈A，都有(x+y)∈A
  2. 对于每一个x∈A，y∈A，都有x+y=y+x (交换律)
  3. 对于每一个x∈A，y∈A，z∈A，都有(x+y)+z=x+(y+z) (结合律)
  4. 对于每一个x∈A，A中存在一个元素0，且0≠1，使得x+0=x
  5. 对于每一个x∈A，相对存在一个-x∈A，使得x+(-x)=0

乘法公理

  1. 对于每一个x∈A，y∈A，都有xy∈A
  2. 对于每一个x∈A，y∈A，都有xy=yx (交换律)
  3. 对于每一个x∈A，y∈A，z∈A，都有(xy)z=x(yz) (结合律)
  4. 对于每一个x∈A，存在1≠0，使得1x=x
  5. 对于每一个x∈A，相对存在一个(1/x)∈A，使得x·(1/x)=1

分配律

对于每一个x∈A，y∈A，z∈A，x(y+z)=xy+xz

显然有理数集合Q符合以上条件，即所有有理数的集合，有理数集合Q为域。

命题

由加法公理得出

  1. 如果x+y=x+z，则y=z (a1)
  2. 如果x+y=x，则y=0 (a2)
  3. 如果x+y=0，则y=-x (a3)
  4. -(-x)=x (a4)

证明

如果x+y=x+z，则：

y=0+y=(−x+x)+y=−x+(x+y)=−x+(x+z)=(−x+x)+z=z\begin{aligned}y=0+y=(-x+x)+y=-x+(x+y) \\ =-x+(x+z)&=(-x+x)+z=z \end{aligned}

要证明2则把z=0代入，3则把z=-x代入，对于4则只需要令y=-x

−(−x)=x=−yy+x=0−y+y+x=−y(−y+y)+x=−y0+x=−yx=−(−x)\begin{aligned}-(-x)=x&=-y \\ y+x&=0 \\ -y+y+x&=-y \\ (-y+y)+x&=-y \\ 0+x&=-y \\ x&=-(-x) \end{aligned}

由乘法公理得出

  1. x≠0，如果xy=xz，则y=z (m1)
  2. x≠0，如果xy=x，则y=1 (m2)
  3. x≠0，如果xy=1，则y=1/x (m3)
  4. x≠0，1/(1/x)=x (m4)

证明方法和上面类似，这里省略，可以自己试试。

由域公理得出

  1. 0x=0
  2. 如果x≠0，y≠0，则xy≠0
  3. (-x)y=-(xy)=x(-y)
  4. (-x)(-y)=xy

证明

1. 这里给出两种方法：
(1) 0x+0x=(0+0)x=0x，利用(a2)可知0x=0
(2)

xx=0x+xx(0+x)x=0x+xx(0+x)x−xx=0x(0+x−x)x=0x(0+x−x)x−0x=0(0+0−0)x=00x=0\begin{aligned}xx&=0x+xx \\ (0+x)x&=0x+xx \\ (0+x)x-xx&=0x \\ (0+x-x)x&=0x \\ (0+x-x)x-0x&=0 \\ (0+0-0)x&=0 \\ 0x&=0 \end{aligned}

2. 假设x, y≠0，但xy=0，则

1=1y1xxy=1y1x0=01= \frac{1}{y} \frac{1}{x} xy = \frac{1}{y} \frac{1}{x} 0 = 0

显然不成立

3.4. 可一起证明

(−x)y+xy=(−x+x)y=0y=0(-x)y+xy=(-x+x)y=0y=0

将 -y代入(-x)y=-(xy)，由3.可得

(−x)(−y)=−[x(−y)]=−[−(xy)]=xy(-x)(-y)=-[x(-y)]=-[-(xy)]=xy

由有序域的性质可定义

  1. x，y，z∈A，且y<z，则x+y < x+z
  2. x，y∈A，xy>0，如果x>0，则y>0

对于每个有序域有以下命题

  1. 如果x>0，则-x<0
  2. 如果x>0，y<z，则xy<xz
  3. 如果x<0，y<z，则xy>xz
  4. 如果x≠0，则x2>0
  5. 如果0<x<y，则0<1/y<1/x

证明

1. 当x>0，易知 0=-x+x>-x+0
2. z>y，则z-y>y-y=0，xz=x(z-y)+xy>0+xy
3. x<0，则-x>0，(-x)(z-y)=-[x(z-y)]>0，即x(z-y)<0，x<0
4. 易知，略
5. 由x<y，得(y/x)>1，又由x·(1/x)=1>0得，(1/x)>0，(1/y)同理，则有

yx>y⋅1y1xy>1y21x>1y\begin{aligned} \frac{y}{x} &> y\cdot \frac{1}{y} \\ \frac{1}{xy} &> \frac{1}{y^2} \\ \frac{1}{x} &> \frac{1}{y} \end{aligned}

结尾

其实就是看baby rudin然后重新自己梳理一遍，顺便写了篇博客，rudin的有些证明太简短了，所以我自己推了一遍，部分证明过程和原文有出入，如果有错误请告诉我。

参考书目:

- Rudin, W. (2008). Principles of mathematical analysis (3. ed., [Nachdr.]). McGraw-Hill.