目标

  • 理解电容器的定义，基本结构与工作原理
  • 知道如何从高斯定律推出平行板电容器的电容公式
  • 对于平行板电容器，圆柱电容器，球形电容器和孤立球体计算其电容
  • 掌握串联并联平行板等效电容公式

一、什么是电容器（Capacitor）

  我们将由两个互相绝缘分离的导体组成的系统称为电容器的基本模型，这两个导体称为极板。为了方便我们用内部真空的平行板电容器来说明：当电容器被充电时，两个极板分别带上大小相等、符号相反的电荷 +q 与 −q。我们将单个极板的电荷量的绝对值记作 q（并非净电荷，因为内部电荷为0），称为电容器所带的电荷。由于极板是导体，它们分别构成等势面。两极板之间建立起电势差ΔV，我们将这一电势差的绝对值定义为V。于是，电容(capacitance)则被定义为q与V的比值，即 C=qVC= \frac{q}{V} ，电容C的值只取决于极板的几何形态而不取决于它的电荷或电势差。电容表征在极板间建立单位电势差所需的电荷量，也就是说电容越大，所需要的电荷数越多。SI单位为farad，简写为F。

电容器充电

  给电容器充电的常用方法就是使用电源，电池在导线中建立的电场能使电子在导线中移动，电容器的一极板电子流向电池正极；因此失去电子的极板带正电。同样的，电场驱动电子从电池负极流向电容器另一极板；因此获得电子的极板带负电。

  起初电容器没有电荷，两极板电势差为0，接入电源电路后两个极板间的电势差逐渐增大，直到两极板的电势差等于电源的电势差，这时候导线中电场也趋于0，不再驱动电子移动，也就完成了充电。

二、电容计算

  由高斯定律有:

ϕ=qε0=∮E⃗⋅dA⃗\phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{A}

而在匀强电场中，有 E⃗\vec{E} 和 dA⃗d\vec{A} 平行，于是可以化简为:

q=ε0EAq=\varepsilon_{0} EA

板间具有电场，根据电场形成的电压V有：

Vf−Vi=−∫ifE⃗⋅ds⃗V_{f}-V_{i}=-\int_{i}^{f} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{s}

s⃗\vec{s} 的方向总是与 E⃗\vec{E} 的方向相反，于是它们的内积为：

V=∫−+E dsV=\int_{-}^{+} E\ \mathrm{d}s

（这里的+/-代表正负极板）

平行板电容器 （Parallel-Plate Capacitor）

  由之前的两个公式 q=ε0EAq=\varepsilon_{0}EA 和V=∫−+E dsV=\int_{-}^{+} E\ \mathrm{d}s 以及由于是匀强电场，E为常数，可以提到外部，则在平行板中 ∫−+ds=d\int_{-}^{+}\mathrm{d}s=d 即 V=EdV=Ed 可得

C=qV=ε0AdC=\frac{q}{V}=\varepsilon_{0} \frac{A}{d}

  我们发现，平行板电容器中电容的变化只和几何关系有关，也就是电容随着极板面积增大而增大，随着板间距增大而减小。而 ε0\varepsilon_{0} 的值与单位为：

ε0=8.85×10−12 F/m=8.85 pF/m=8.85×10−12 C2/N⋅m2\varepsilon_{0}=8.85 \times 10^{-12} \ F/m = 8.85 \ pF/m = 8.85 \times 10^{-12} \ C^{2}/N \cdot m^{2}

圆柱形电容器（Cylindrical Capacitor）

  同样的，圆柱形电容器是一个中心圆柱外包一个圆柱，中间有空缺，我们令中心点到内圈半径为a，中心点到外圈为b，首先由：
E=qε0A=qε02πrLE=\frac{q}{\varepsilon_{0} A}=\frac{q}{\varepsilon_{0} 2 \pi r L} ，有： V=∫abE(r) dr=ln⁡(ba)qε02πLV = \int_{a}^{b} E(r)\ \mathrm{d}r = \ln(\frac{b}{a}) \frac{q}{\varepsilon_{0}2 \pi L} ，则

C=qV=ε02πLln⁡(ba)C=\frac{q}{V}=\varepsilon_{0} \frac{2 \pi L}{\ln(\frac{b}{a})}

球形电容器（Spherical Capacitor）

孤立球体的自电容（Self-Capacitance of Isolated Sphere）